Exemplo

public class ClassA {
private final String stringObject = "Uma nova Sequência";
private String nonConstantString = "Alterando Sequência";

public void method(){
String localString = "anexar";
nonConstantString += localString;
}
}

Solução
Um objeto String não-constante deve ser declarado como StringBuffer. Quaisquer alterações em String devem ser feitas com a classe append() de StringBuffer.

public class ClassA {
private final String stringObject = "Uma nova Sequência";
private StringBuffer nonConstantString = new StringBuffer("Alterando Sequência");

public void method(){
String localString = "anexar";
nonConstantString.append(localString);
}
}